2009/05/15

選択公理 数列

選択公理ってのは
「空でない集合が無限個あるとして、その直積取ったら空じゃない」
っていう命題? って言っていいのかな
「無限回の操作をするなんて、安直に認めていいの?」っていう疑問から
これが正しいとか正しくないとか色々議論があったみたいなんですが
今では「認めたい人は認めればいいし認めたくない人は認めなければいい」ことになってます
他の良く用いられる数学の公理とかそのセットなんかと独立らしいです、らしい、良く知らない

で、っていうか、選択公理自体が、そんなことに疑問を持ったことが無い人には自明で、
いきなりそんなこと言われちゃうと
「え? 無限個の直積考えちゃダメなの? 数列とかもダメ?」
って思っちゃうけどそうではなくて
何がダメかっていうと具体的に集合からの選択方法が指定できなくて
空じゃないから何か取れる、空じゃないから何か取れる、を繰り返すと
それが無限回って終わらないんじゃね? っていうのが論点らしくって
例えば有理数の数列って集合が空かどうかっていうと
0,0,0,0,0,0,0,0,... って 0 が続くような数列は取り方具体的に指定できるから
確かに数列として存在してるんで空じゃないって選択公理使わずに言えるって

っていうような話を以前聞いたことがあった気がするんで
Wikipedia 見ても良く分からなかったから選択公理の言わんとするところを
正しく理解しようと検索してみたんですが徒労に終わりまし
英語を避けたからかなぁ、英語かぁ、怖いなぁ

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